OKTV 2017

Spec. matek, döntő

(2017.03.02. 11:09-16:09)

1. feladat: Az $a_0$, $a_1$, ..., $a_{10}$ egész számok összege 11. Maximálisan hány egész megoldása lehet az $x$ ismeretlenre felírt $$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{10}x^{10}=1$$ egyenletnek?

2. feladat: Egy rögzített hegyesszögű háromszög tetszőlegesen kiszemelt $P$ belső pontját tükrözzük mindhárom oldalegyenesre. Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan pont van, amely $P$ bármely választása esetén benne van a $P$ pont tükörképei mint csúcsok által kifeszített háromszögben.

3. feladat: Mutassuk meg, hogy minden $k>1$ egész számhoz van olyan $k^2$-nél kisebb $m$ pozitív egész, amelyre $2^m-m$ osztható $k$-val.

Hivatalos megoldások