(2019.10.04. 14:00-18:00)
1. feladat: Az $ABC$ hegyesszögű háromszögben $AB$ < $AC$ < $BC$, az $A,B,C$ csúcsokból induló magasságok talppontjai rendre $A_1$, $B_1$, illetve $C_1$. Legyen $P$ a $C_1$ pont tükörképe a $BB_1$ egyenesre, és legyen $Q$ a $B_1$ pont tükörképe a $CC_1$ egyenesre. Mutassuk meg, hogy az $A_1PQ$ háromszög köré írt kör átmegy a $BC$ oldal felezőpontján.
2. feladat: Legyen $n$ pozitív egész szám. Határozzuk meg az összes olyan $\mathcal{F}$ halmazrendszert, amely az $\{1,2,...,n\}$ halmaz bizonyos részhalmazaiból áll, és amelyre minden rögzített, nemüres $X\subseteq \{1,2,...,n\}$ mellett ugyanannyi $A\in \mathcal{F}$ esetén lesz $A\cap X$ elemszáma páros, mint páratlan.
3. feladat: Igaz-e, hogy ha $H$ és $A$ a számegyenes korlátos részhalmazai, akkor $H$ legfeljebb egyféleképpen bontható fel $A$ páronként diszjunkt eltolt példányaira? (Végtelen sok eltolt példányt is megengedünk.)