Kürschák 2017

(2017.10.06. 14:00-18:00)

1. feladat: Legyen $ABC$ tetszőleges háromszög, és válasszuk az $A'$, $B'$, $C'$ pontokat egymástól függetlenül, egyenletes eloszlással rendre a $BC$, $CA$ és $AB$ oldalakról. A sík $Z$ pontja esetén jelölje $p(Z)$ annak a valószínűségét, hogy az $AA'$, $BB'$ és $CC'$ egyenesek által határolt háromszög tartalmazza $Z$-t. Határozzuk meg az $ABC$ háromszögnek azt a $Z$ belső pontját, amelyre $p(Z)$ a lehető legnagyobb.

2. feladat: Vannak-e olyan $f(x)$ és $g(x)$ valós együtthatós polinomok, amelyekre az $f^3(x)-g^2(x)$ polinom elsőfokú?

3. feladat: Egy $n\times n$-es $T$ táblázat mezőibe egy-egy számot írtunk úgy, hogy egyik sorban sem szerepel kétszer ugyanaz a szám. Bizonyítsuk be, hogy át lehet rendezni a $T$-ben szereplő számokat úgy, hogy az átrendezés utáni $T^*$ táblázat minden sorában pontosan ugyanazok a számok álljanak, mint amelyek $T$ megfelelő sorában álltak, de $T^*$ semelyik oszlopában se szerepeljen kétszer ugyanaz a szám.